エントロピー 計算。 平均情報量/エントロピー

小学生でも分かるエントロピーの話

エントロピー 計算

つまり,サイクルの途中で熱の出入りがあれば,その熱量Q(受け取るとき正とする)をそのとき接触している熱源の温度Tで割り,これをサイクル1周について足し合わせるとその値はゼロとなるというものです。 右図に示したような互いに共通の断熱曲線,等温曲線を介して隣接するn個のカルノーサイクル(=灰色の部分)を考えると,黄色で示した一番外側を構成する経路を除いた内部では,膨張過程と収縮過程の経路が隣接するカルノーサイクルどおしで打ち消しあうため,黄色で示した周辺部分( =ループC)だけがn個の総和を考えたときの正味の経路ということになります。 ここで,閉曲線Cは個々のカルノーサイクルの組み合わせによって任意の形状にできることに注意してください。 」 (ここでのループは熱力学状態をあらわす曲面上になければなりません。 ) ことを示しています。 ベクトル解析の知見よると,このような状況を満たす領域 (今の場合,各座標軸がP,V,Tである3次元部分空間を考えます。 この空間の点A とは,熱力学状態:(P A,V A,T A )を意味する。 ここで,S(B),S(A)はそれぞれ,点B,または点Aだけで定まる量なので「状態量」です。 このSを エントロピーといいます。 さらに,S(B)-S(A)= 可逆 dS なので微分形は, d'Q (可逆) = dS [エントロピーの定義] T と書くことができます。 d'Q (可逆)は可逆な過程で発生(吸収)する熱量であることを忘れないように「(可逆)」をつけました。 このように熱力学においてエントロピーはきわめて数学的な技巧として導入されます。 したがってその技巧(数学)を理解することがどうしても必要です。 (しかし,熱力学の構築にはエントロピーの統計力学的な知識は必要ありません。 ) ここでは次のことを強調しておきましょう。 第一にエントロピー の変化 は可逆な過程で移り変われる状態変化に対して定義される(計算可能)ということです。 したがって,第2法則とは関係なく定義できる量です。 実際,私は第2法則の中身についてまだ一言も述べてないにも関わらず,エントロピーの定義に関して話さなければならないことはもうすべてあなたに授けています。 そして,あなたがこのページを最後まで読めば,簡単な状態変化に伴うエントロピー変化を計算できるようになるはずです。 熱力学第2法則を知らないまま。 第二として,エントロピーは状態量だということです。 ということは熱力学状態が指定されれば,それに対応するエントロピーの値を定めることができるということです。 たとえば,始状態A,終状態Bの2つの平衡状態を考えたとき,その状態間のエントロピーの差はどのような過程でAからBへ移ったか(可逆的か不可逆的かに)は無関係に唯一定義することが可能な物理量です。 」ということです。 ちょっと休憩。 スイカはエントロピーだというお話 第一章の用語の説明の処で,「状態量」と「過程の量」の違いについて例え話をしました。 再掲すると, 「 もし,熱力学状態を鉄道の駅に例えると,各駅の標高は状態量です。 どうやってその駅にたどり着いたかには関係なく,駅を一つ指定すれば唯一定まる量だからです。 他方,駅から駅へ移動するために必要な運賃は過程の量です。 出発駅と到着駅の両方とその経路を指定しないと値が定まりません。 東京から名古屋へ行くための運賃は,どのルートで行くか,何に(各停,新幹線,特急)乗って行くかで違ってしまうからです。 状態量の微小変化は微分記号を用いて,dS,dP,・・・ のように書きます。 一方,過程の量の微小量は,d'W,d'Qというように d' という記号を慣用的に使います。 その理由を先ほどの例を用いて説明すると,駅と駅との距離を小さくとったとき,状態量である標高差は小さくなるのに対して,過程の量である運賃は必ずしも小さくならないからです。 つまり,東京から隣の有楽町まで行くための運賃が初乗り運賃だと決め付けるのは早合点であって,東京を出発し,松本を経由して名古屋に出て,そこから熱海,品川と経由して有楽町にやってくるときの運賃というのもアリだからです。 つまり,過程の量とは数学的な微分量という概念とは馴染まないのです。 だから, d という記号を使わないのです。 そのようなとき,d' という記号を使います。 」 つまり,鉄道運賃は状態量ではないということです。 ところで,本文中,過程の量である熱量Qに制限を加えることで,状態量であるエントロピーS を 作り出せることをみてきました。 ということは,それを真似して過程の量である運賃から何か状態量を作り出せないかと考えてみたくなります。 実際に作ってみましょう。 ポイントは準静的であることと可逆性です。 準静的というところは特急や急行などは全部廃止して,鈍行列車だけとしたらよいでしょう。 運賃が可逆的であるということは,払うだけではなく,逆方向に移動した場合は運賃の払い戻しをしてもらう必要があります。 また,どんなルートであれ,一周して元の駅に戻ってきたらその「状態量」の増減はゼロでなくてはいけません。 さあ,どんな運賃体系にしたらよいでしょうか。 こんなのはどうでしょうか。 そうすれば,スイカカードの残高は状態量となります。 つまり,任意駅を指定すれば,スイカカードの残高は駅ごとに一通りに決まるはずでしょう。 この場合も具体的な残高を数値で示そうとするときは基準点をどこかに設けておかなければなりません。 例えば,東京駅におけるスイカカードの残高は10万円としておけばいいでしょう。 もちろん,基準点は必ずしも東京でなくても構いません。 誤解があるといけないので,エントロピーの定義式に忠実な書き方も示しておきましょう。 カルノーサイクルについて横軸にエントロピー,縦軸に温度をプロットしたS-T図を書いてみると下図のような長方形となります。 比較のためにP-V図もその左に再掲してます。 このとき, W 1+W 2+W 3+W 4+Q 1+Q 2 = 0 であることを思い出せば,この2つの閉じた軌跡に囲まれた面積は等しいことがわかります。 ここで,「あれ,何か変だぞ?」と感じて欲しいことが一つあります。 サイクル全体としては高温から低温へ熱が移動するカルノーサイクルにおいてエントロピーが変化する過程は温度変化の起こらない等温過程においてであって,温度変化が生じている断熱過程ではエントロピーが変化していないというところです。 これはエントロピーの本質が何であるか考えさせられる結果です。 エントロピーの本質が単純な高温から低温へ熱の移動ではないことがわかりますね。 PDF版 販売のお知らせ 購入から1年以内に10回までダウンロードできます 製本すれば冊子になります [全151ページ] WEB版を再構成して,さらに化学平衡の章を追加しました。 WEB版で割愛したいくつかの考察も含んでいます。 さらに深く勉強したい,きれいに印刷した紙面で読みたい方は ぜひ,ご購入ください。 .エントロピー変化の具体的な計算例 エントロピーの具体的な計算例を他にもいくつか示した方が理解の助けになることと思いますが,その前に 熱力学第一法則:dU=d'Q-PdV をエントロピーを用いた 可逆系に適用される形に状態量で書き直しておきましょう。 つまり,この d'Q に TdS を代入して, dU = TdS-PdV 一方,エンタルピー変化は, dH = dU+PdV+VdP = d'Q+VdP と書けるので, dH = TdS+VdP と書くことができます。 これらは熱力学第一法則の別表現と見ることができますが,しばしば,具体的なエントロピーの計算をする際に使われます。 では,理想気体について,具体的なエントロピー変化について計算してみましょう。 要するに,等積下で温度が上昇したり,圧力が増加すれば,エントロピーは増大するのです。 (加熱の途中,容器内で熱分布や対流が起きた場合は,内部が完全に均一となるまで待ってからP 2,T 2を測る必要があります。 次に容器を接触させると最終状態2となりますが,その際のエントロピー変化は起こりません。 (終わり) ところで,以上の理想気体の具体的なエントロピー変化の計算を通して,どのようなときにエントロピーが増大するかわかりますか?結果をまとめた一覧表を眺めてみてください。 変化 温度 圧力 体積 熱量 等温可逆膨張 0 低下 増加 流入 1 等積加熱 上昇 上昇 0 流入 2 温度均一化 上昇&降下 上昇&降下 0 0 3 定圧膨張 上昇 0 増加 流入 4 等H変化 0 低下 増加 0 さっぱり,わからないでしょう?正解は次の章へ進まないとわかりせん。 くどいようですが,ここまでまだ熱力学第2法則の話は全くしていません。 エントロピーそのものの理解に必要なことは,熱力学第1法則と準静的な過程という概念だけです。 極論すれば,このページでやったことは, d'Q (可逆) =dS T によって,変数 Sを 定義しただけです。 したがって,熱力学体系を示すという目的だけならば,この一行だけでこのページを済ませて話を先へ進めることも可能です。 次ページからはいよいよ本格的にエントロピーが登場し,大活躍していきます。 CopyRight フジエダ電子出版.

次の

情報理論におけるエントロピーとは

エントロピー 計算

エンタルピー、エントロピー 熱力学には熱や仕事のエネルギーなどが相互に関係している。 これらの性質は圧力、温度、体積になどの条件によって記述される。 それぞれ物質の集まりを系と呼び、その他の部分を外界と呼ぶ。 この「物質、エネルギー、外界」には「 開いた系、孤立系、閉じた系、断熱系」の4つの系が存在する。 理想気体の状態は pV=nRT で表される。 このとき圧力p、体積V、物質量n、温度Tは気体の状態が決定すると決まってくる。 このように系の状態が決定することで決まる量を 状態関数または 状態量という。 エンタルピー 熱力学第一法則とは「孤立系ではエネルギーは形を変え、相互に変化することはあるが、新たに発生したり消えたりしない」という エネルギー保存の法則である。 この条件下でも熱量qは状態関数の変化量となる。 ここで、新しい状態関数「エンタルピーH」を定義する。 エンタルピーとは「圧力一定の条件で系がもつエネルギーである」と考えることができる。 下の図では反応する前の系のエンタルピーよりも生成した系のエンタルピーの方が低い。 つまり、エンタルピーが減った分だけエネルギーが減ったということである。 圧力一定で系のエネルギーが減ったということは、減ったエネルギー分だけ熱量を放出したことになる。 つまり、吸熱反応である。 エントロピー エントロピーSとは乱雑さの指標となる状態関数である。 孤立系においての自然変化はエントロピーは増大する方向に働く。 熱力学第二法則とは「可逆反応ではエントロピーは一定であり、不可逆反応ではエントロピーは増大する」と表現されている。 熱い湯に冷たい物質を入れると温度が下がり、湯と物質の温度は同じになる。 これは熱いものから冷たいものに熱が移動したためである。 物質がさらに冷たくなり湯が沸騰をはじめるという、冷たいものから熱いものへ熱が移動する反対の変化は起こらない。 これは不可逆反応であり、エントロピーは増大する方向へ働く。 エントロピーは次の式で求めることができる。 熱力学第三法則は「すべての完全結晶のエントロピーは絶対零度で0である」としている。 ・エントロピーの意味 ボルツマンはエントロピーを、統計力学の立場から S = k・lnW と定義した。 kはボルツマン定数とよび、気体定数をR、アボガドロ数をNとすると次のように表せる。 この二つの容器を体積vに分割して考える。 V 1の容器にm個の分子があるとする。 もし、体積がV 1からV 2に変化したとするとそのときのエントロピーの変化量は次の式で表すことができる。 そこで、一般的な反応の方向を知る必要がある。 孤立系以外で 反応が自然に起こるかどうかを知ることができる状態量としてギブスエネルギーG 自由エネルギー が定義されている。 ギブスエネルギーGは次のように表される。 ・ギブスエネルギーと平衡定数 いま、次のような四つの気体の化学反応があるとする。 このときのギブスのエネルギーは次のように表せる。

次の

情報基礎 「Pythonプログラミング」(ステップ7・統計計算・情報量と情報エントロピー)

エントロピー 計算

Pythonプログラミング(ステップ7・統計計算・情報量と情報エントロピー) このページでは、「情報」の量的表現である情報量とエントロピーについて考える。 (ここは作成中) 情報のデータ化とデータの情報化 世の中にはいろいろなサービスがあって、それらの口コミ情報が溢れ、多くの場合、評価が「星」の個数などのかたちで点数化されている。 そして我々は、その点数を見ながら、どの店を選ぶか、思案したりするわけである。 サービスの質を点数化する行為について改めて考えてみよう。 **ログや、**. com が得たい情報は、それぞれの店やサービス、商品の「質」や「満足度」で、色々な価値の尺度があり得る。 そして、価値に関わるような事項は、数値化が難しいはずだ。 そこで、質問項目を工夫することで、価値の方向性(評価軸)を明確化して、5段階などの尺度として回答させ、データを得ている。 情報機器を使って我々が操作できるのは、基本的に数値や記号のみである。 他方で、情報とは何らかの意味で価値と不可分であって、客観的でなかったり、表現が困難な場合も多い。 アンケート調査は、この典型的な例と言えよう。 それとは反対に、社会活動の中では、特定の目的や意図なしに、自動的に収集されているデータも膨大に存在する。 パソコンやスマートフォンを利用していると、あらゆるサービスで、アクセスや利用の状況が記録されているし、 携帯基地局やWi-Fiのアクセスポイントとモバイルデバイスがデータをやり取りする過程で、通信事業者は利用者の位置情報を把握している。 検索サービスの利用状況は、利用端末と共に、全て記録されている。 これらのデータの意味や価値は、サービスの運用が開始された当初は必ずしも明確ではなかったかもしれないが、 ビジネスの展開や社会の変化の中で、新しい使い道が見いだされてきた。 つまり、データの中から新しい情報が発掘されるような状況に至っているのが現代の社会である。 たとえば、COVID-19の流行においては、スマートフォンのロケーションデータが濃厚接触の検出に使われるようになっているが、 ウィルス感染症の拡大防止は、社会的にも、個人にとっても、有益であるとの価値判断の下に、 そのデータに新たな意味が付与されるようになったわけである。 データの尺度 着目する調査対象についての情報をデータとして表現する際に、何らかのものさし(尺度)を導入する必要がある。 統計学では、以下の分類がよく使われる: 名義尺度 nominal scale データをカテゴリを表す数値や記号。 性別(男,女)、検査結果(陰性、陽性)など。 順序尺度(ordinal scale) データの順序・順位。 成績の順位:1,2,3,... 、嗜好の程度: 嫌い,やや嫌い,どちらでもない, やや好き, 好き など。 間隔尺度(interval scale) データの絶対値そのものではなく、データ間の差に意味がある尺度。 摂氏や華氏の温度、試験の点数 など。 比例尺度(ratio scale) 基準値を単位とした大きさの尺度。 絶対温度(ケルビン)、ほとんどの物理量。 その量的尺度が情報量である。 対数の底を2に取った場合、その単位はビット bit である。 つまり、まれにしか起きない事象に対する情報量は大きく、当たり前(確率が1に近い)の事象の情報量は 0 に近づく。 情報量は、得た情報の意外性の量的な尺度、と言える。 離散事象に対するエントロピーは必ず0か正値を取るのに対して、微分エントロピーは負値も取り得るなど、性質の異なる点もある。 アンケートで「たくさんの」情報を得ようとした場合、結果はできるだけ回答ごとにバラけていたほうが良いだろう。 すると、エントロピーの大きさが、得た情報の目安のひとつとして使えるはずである。 例えば、実際のアンケート調査では、5件、7件、あるいは9件のように、ちょうど「中央」を設ける場合が多い。 coding: utf-8 import numpy as np import math import pandas as pd import matplotlib. 4,2. 2,3. 0,3. 8,4. 6] axes[i]. show 練習:アンケート結果の信憑性 複数の項目について回答する際に、つい面倒に感じて、全て「5」を付けたりする場合も少なくないかもしれない。 上記のアンケートデータの中で、オール5のサンプルを除外したら、結果はどのように変わるか(変わらないか)を確認してみなさい。 相互情報量 アンケートで複数の回答項目を設けることによって、より多くの情報を得ることができそうにも思える一方で、 全ての項目が類似の点数であったとすると、項目の追加によって得られる情報量は限られるだろう。 言い換えれば、1つの項目についての情報を得たならば、他の項目についての情報も得ることができる。 XとYの2つの確率事象があった際に、『Xを知ることで、Yについて追加で得られる情報量』、あるいは『Yを知ることで、Yについて追加で得られる情報量』は相互情報量と呼ばれる。 このとき、相互情報量は最小となる。 反対に、相互情報量が大きな値であればあるほど、情報源は互いに類似していることになる。 2つの変量の関連性の指標のひとつとして相関係数が用いられるが、相関係数はXとYの線形的な関係を想定しており、非線形な関係性の有無を検知することはできない。 一方で、相互情報量は、線型性の有無に関係無く、確率的な非独立性を検出することができる。 宿泊施設の評価アンケートの2つの項目について、相互情報量を計算するコードの例である。 このコードでは、「立地」と「総合」評価について計算する。

次の