ペンローズ の 三角形。 Kokichi Sugihara's Homepage (Japanese)

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ペンローズ の 三角形

ペンローズタイル 自然界には、数学的に不可能なものは存在しえない。 数学的に可能なものがすべて実在するとも限らない。 五回対称の準結晶は、ペンローズの数学によって予測され、実際に発見されたのである。 ペンローズのタイルの特許を扱ってパズルなどを作っているペンタプレックス社のデヴィッド・ブラッドレーは、このトイレットペーパー事件について、次のような仰々しくも面白おかしいコメントを発表している。 「大英帝国臣民が、多国籍企業のしり馬に乗って、わが国のナイト爵の発明になる作品を用い、本人の許諾を得ずに、自分たちの尻を拭くことを奨励されたとあらば、最後の手段をとらざるをえまい」 このパズル、ふつうのジグソー・パズルとは一味ちがう。 ふつうのパズルでは、局所的にピースがはまればいい。 つまり、すぐ隣だけを考えればいい。 ところが、ペンローズのパズルは、大局的にピースをはめていかないと完成しない。 全体を考慮に入れながらパズルを作っていかないとダメなのだ。 こういうのは、子供の情操教育に非常にいいおもちゃである。 ペンローズは、特殊相対性理論におけるローレンツ収縮が、実際には「縮んで見えない」ことを初めて証明したことでも有名だ。

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相対論と量子論の暗黙の了解を覆した「ペンローズ」とは何者か(竹内 薫)

ペンローズ の 三角形

の三角形 まず、「の三角形」と呼ばれる図形を見てほしい。 多くの人はフィッシャーの絵に使われている一要素だと思うのではないか。 この図形が二次元上の対象であれば、実際に二次元の平面に描かれているので、その存在は可能どころか、既に実現している。 これは改めて証明する必要のない事実そのものである。 なぜなら、この図形が端的に紙の上に描かれて「ある」からである。 一方、これが物理的な物体を描いた画だとすると、描かれた物体がありえないというのが大方の答えになる。 もっともらしい答えに思えるが、「ありえない」という理由は何だろうか。 恐らく、物理世界は三次元空間で、その中で物体が存在するには三次元空間の制約に従わなければならない。 だが、この図形はその制約に従っていない。 というのも、前後、左右、上下の(組み合わせの)秩序が守られていないからである。 二次元の世界では存在できるものが、三次元では存在できないというのがこの例である。 だが、三次元の世界には二次元の世界が含まれている。 だから、二次元の表面をもつ紙は三次元の世界に存在する。 その紙に描かれた図形は、紙が三次元の世界に存在するゆえに、書かれた絵としても存在する。 だから、この図形は三次元の世界に存在すると結論できる。 さて、二つの異なる結論が得られてしまったが、どのような意味で「ありえない」かは明らかになった。 物理的な物体としてはありえないのである。 だが、紙に書かれたこの図形を切り抜いたものも物理的な物体である。 三次元世界に存在するこの切り抜きは紙の一断片としての物理的な物体であるが、紙に描かれた三次元の物体としては存在していない。 これまでの話は、「紙に書かれた「の三角形」は存在するが、この世界にの三角形は存在しない」、ということと基本的には同じことである。 だから、フィッシャーの描いたようなだまし絵が存在し、人々を驚き、それを楽しむことができる。 紙に描かれたこの図形は物理的な物体ではなく、情報なのである。 描かれている普通の立方体は立方体そのものではなく、立方体の情報であり、その描かれた立方体の指示する対象が3次元の立方体なのである。 これまで「記号系列とその指示対象」と捉えられてきたが、「情報とその情報の内容」と捉える方が適切に思われる。 そこで、次の画像を見てほしい。 これは実際にオーストラリアのパースにあるの三角形である。 これは三次元の世界に実際に存在しているように「見える」。 上述のことから、の三角形が三次元の物理的世界に存在することはあり得ないのだから、見えるだけで「ある」ことではないと推理してほしい。 事実、その通りで、一定のアングルで見た場合のみ三角形に見えるというわけである。 これは広義の錯視なのかも知れないが、脳が知覚像をの三角形だと誤解することによって起こるのである。 手品のように種を明かせば、ややこしいことではないのである。 実際の物体 huukyou.

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相対論と量子論の暗黙の了解を覆した「ペンローズ」とは何者か(竹内 薫)

ペンローズ の 三角形

ペンローズタイル 自然界には、数学的に不可能なものは存在しえない。 数学的に可能なものがすべて実在するとも限らない。 五回対称の準結晶は、ペンローズの数学によって予測され、実際に発見されたのである。 ペンローズのタイルの特許を扱ってパズルなどを作っているペンタプレックス社のデヴィッド・ブラッドレーは、このトイレットペーパー事件について、次のような仰々しくも面白おかしいコメントを発表している。 「大英帝国臣民が、多国籍企業のしり馬に乗って、わが国のナイト爵の発明になる作品を用い、本人の許諾を得ずに、自分たちの尻を拭くことを奨励されたとあらば、最後の手段をとらざるをえまい」 このパズル、ふつうのジグソー・パズルとは一味ちがう。 ふつうのパズルでは、局所的にピースがはまればいい。 つまり、すぐ隣だけを考えればいい。 ところが、ペンローズのパズルは、大局的にピースをはめていかないと完成しない。 全体を考慮に入れながらパズルを作っていかないとダメなのだ。 こういうのは、子供の情操教育に非常にいいおもちゃである。 ペンローズは、特殊相対性理論におけるローレンツ収縮が、実際には「縮んで見えない」ことを初めて証明したことでも有名だ。

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